Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma donde:

·        π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longitud del círculo con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
·        e (número de Euler) es el límite de la sucesión  e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}, que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendental.
·        i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
·        0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Esta identidad se puede emplear para calcular π:
\pi = \frac {\ln(-1)}{i}\,\!


La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que
e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!
para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si
x = \pi \,\!
entonces
e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!
y ya que
\cos \pi = -1 \,\!
y que
\sin \pi = 0 \,\!
se sigue que
e^{i \pi} = -1 \,\!
Lo cual implica la identidad
e^{i \pi} +1 = 0 \,\!


Fórmula de Euler para un ángulo general.